Mathe 3

Heute war der Klausurtermin für “Mathematik für Informatiker”. So aus dem Gedächtnis wurden folgende Aufgaben gestellt. Die Liste ist bestimmt nicht vollständig und kann noch Fehler enthalten, kann aber mit Hilfe der anderen Opfer, die mitgeschrieben haben, komplettiert werden.

Aufgabe 1

a.) Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion:

b.) Beweisen Sie folgende Aussage mit Hilfe von Kontraposition:

Wenn teilerfremd sind, so sind auch teilerfremd.

c.) Beweisen Sie, dass der Satz: Wenn 3a+2b und 3a-2b sind nicht teilerfremd, dann sind a und b auch nicht teilerfremd, nicht gilt.

Lösung (anzeigen)

Aufgabe 2

a.) Die Wettervorhersage gibt an, dass es mit 40% Wahrscheinlichkeit morgen regnet und mit 60% Wahrscheinlichkeit, dass es nicht regnet. Leider trifft die Vorhersage aber nur mit 80% Wahrscheinlichkeit zu, dass es morgen tatsächlich regnet und mit 90% Wahrscheinlichkeit, dass es nicht regnet

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass morgen ein Regentag ist.

b.) Adam und Eva waren zum Inlineskaten verabredet, doch leider kam Eva nicht zum vereinbartem Zeitpunkt, weil Sie gehört hat, dass es regnen wird. Als Entschuldigung gibt sie an, dass Sie gehört hat, dass es regnen sollte. Adam ist sich sicher, dass Eva die Wettervorhersage nicht gesehen haben kann.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es geregnet hat?

Aufgabe 3

Ein Prof vergisst jedes zehnte Mal (unabhängig vom vorherigen Mal) seine Unterlagen für die Vorlesung und muss zurücklaufen und sie holen. Bei 15 Vorlesungen:
a.) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er sie nie vergisst?
b.) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er sie mindestens zweimal nicht vergisst?

Lösung (anzeigen)

Aufgabe 4

In einer Sportgruppe liegt der Erwartungswert bzgl. der Körpergröße bei 1.8m und die Standardabweichung beträgt 0,1m. Für den Kurs „Turnen“ braucht man eine Größe zwischen 1,5m und 1,7m.

Wieviel Prozent der Studenten nehmen teil?

Lösung (anzeigen)

Es nehmen also 15,74% aller Studenten teil.

Aufgabe 5

Es sind folgende zwei Schätzer T1,T2 gegeben:

a.) Überprüfen Sie die Schätzer auf ihre Erwartungstreue
b.) Überprüfen Sie die Schätzer auf ihre Konsistenz

Aufgabe 6

Die Studenten geben an, dass Sie für das Fach Mathe folgenden Lernaufwand haben:

a.) Bitte erklären Sie, ob die Zufallsvariable X="Zeitaufwand der Studenten" diskret oder stetig ist. Bitte begründen Sie ihre Antwort. Ohne Begründung gibt es keine Punkte.
b.) Bitte geben Sie die Dichtefunktion an, und gehen Sie davon aus, dass die Studenten nicht länger als 40 Stunden für das Fach aufwenden?
c.) Zeichnen Sie die Verteilungsfunktion
d.) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X)
e.) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für P(X<18)

Aufgabe 7

a.) Anhand folgender Tabelle soll eine Regressionsgerade mit Hilfe des Satzes der kleinen Quadrate berechnet werden.

b.) Berechnen Sie, ausgehend von einer linearen Abhängigkeit,nach wie viel Jahren nach dem Jahr 2000 der Durchschnittsverbrauch bei 5 Litern/100km liegen wird

Lösung (anzeigen)

Die Sache mit dem Lotto

Millionen von Menschen versuchen jede Woche aufs neue mit einem Lottoschein den großen Gewinn zu holen. Die Tatsache, dass ein Sechser im Lotto so wahrscheinlich ist, wie in einem Treppenhaus von einem Blitz getroffen zu werden, wissen wohl die meisten.

Dennoch lässt sich diese Gruppe Menschen aber nicht davon beirren, es trotzdem zu probieren. Schließlich gewinnt ja fast jede Woche jemand beim Lotto.

Da bald eine Klausur in Stochastik und Statistik ansteht, habe ich mich zu folgender Überlegung hinreißen lassen:

Da es beim Lottospielen nicht auf die Reihenfolge der gezogenen Zahlen ankommt, ist die Anzahl aller Möglichkeiten 6 Zahlen aus 49 zu ziehen:

Eine von diesen knapp 14 Millionen wäre dann der Treffer für einen Lottogewinn. (Die Zusatzzahl habe ich hier mal nicht berücksichtigt).
Nun müssen es ja nicht immer 6 richtige sein. Vielleicht würde man sich ja mit 5 richtig gezogenen Zahlen auch zufrieden geben.

Die Anzahl der Möglichkeiten fünf richtige zu ziehen sind dann immer noch 43 x 6 = 258. Analog zu obiger Rechnung kann man es auch folgendermaßen schreiben:

Führt man diese Rechnung jetzt für alle Treffer durch, zum Spaß auch für die bei denen kein Gewinn ausgezahlt wird, kommt man zu folgendem Ergebnis (P steht hier für die Wahrscheinlichkeit):

Mit anderen Worten ausgedrückt, bedeutet das also, dass man mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 41,3% eine Zahl richtig getippt hat. Für zwei richtige Treffer sinkt die Wahrscheinlichkeit schon auf etwas über 13%. Für einen “Dreier” liegt die Wahrscheinlichkeit dann nur noch bei ca. 1,76%.

Ich weiß nicht, wieviel Euro es für einen Dreier gibt, aber nehmen wir mal an, man würde für drei richtig getippte Zahlen 50,- € bekommen. Leider muss man dafür aber auch im Schnitt ca. 57 Lottospiele mitspielen, um statistisch betrachtet einmal drei Richtige zu haben. Wenn man für einen Lottoschein also 7,- € bezahlt, dann wären das knapp 400,- €, die man für einen 50,- € Gewinn erhalten hätte.

Das dürfte aber die meisten Lottospieler nicht interessieren, schließlich gewinnt fast jede Woche jemand die Millionen.

Medienkompetenz

Klar, Facebook, StudiVZ, SchülerVZ, XING, ICQ, MSN, Twitter, Delicious, alle diese Dienste sind für einige von uns zum integralen Bestandteil des täglichen Lebens geworden. Mal eben die Fotos von der letzten Party online anschauen, oder einen netten Gruß auf der Pinnwand der neuen Liebschaft hinterlassen gehören genauso zum digitalen Alltag, wie sich auf Twitter über den neuesten Klatsch zu informieren, oder selbst welchen zu publizieren.

Doch anstatt sich kritisch mit diesen (neuen) Medien auseinander zusetzen, oder kurz darüber nachzudenken, welche Folgen das in Zukunft haben könnte, peinliche Fotos von sich ins Netz zu stellen, wird ungeniert über sexuelle Vorlieben diskutiert (mit vollständiger Adresse, Foto, IM und besuchte Schule/Uni/FH im Profil) oder über Mitschüler und Kommilitonen hergezogen. Medienkompetenz? Fehlanzeige.

Es geht noch weiter, selbst die Dienste, die wir täglich benutzen, sind zum Teil so restriktiv, dass wir mit jedem Post und jeder IM-Nachricht sämtliche Rechte an diesem, unserem geistigem Eigentum vollständig an den Anbieter abtreten.
Ausschnitt aus der ICQ EULA:

Zu versuchen (s)einen Account in einem der o.g. social networks zu löschen grenzt an einer Suche nach der berühmten Nadel im Heuhaufen. Manchmal ist es auch gar nicht möglich den eigenen Account komplett zu löschen, sondern lediglich zu deaktivieren.

Dennoch: Ich vertrete nicht die Meinung, dass alle diese Dienste grundsätzlich böse sind und man sie deswegen nicht nutzen sollte. Wenn die ganzen Freunde und Bekannte bei Facebook angemeldet sind, möchte man wahrscheinlich gar nicht mehr diese leichte Möglichkeit der Kommunikation missen. Muss man auch gar nicht, denke ich. Es lohnt sich aber, öfter mal darüber nachzudenken, was genau man da eigentlich gerade der ganzen Welt verkündet, oder dass man wichtige Sachen vielleicht besser persönlich bespricht, anstatt sich über IM auszutauschen.

Ich befürchte nur fast, dass die Schulen und die Bildungspolitik diese neuen Gegebenheiten wieder mal verschlafen und die Lehrpläne nicht entsprechend umgestellt werden, so dass man möglichst früh schon etwas über den Umgang mit den Medien und Medienkompetenz im Allgemeinen beigebracht bekommt.
Fortschritt und Technologie haben sich noch nie aufhalten lassen. Genau deswegen müssen wir uns auch Gedanken machen, wie wir mit diesen Dingen umzugehen haben.